テレビ番組で放映されていたそうで
「スマホは初期化してもデータが残っているってホント?」
と御質問がありました。

機種交換などで使用しなくなったスマホの初期化と言えば
・工場出荷時の状態に戻す
・ユーザーデータを削除する
などでしょうか。

機種によってはきちんと削除され復元不可能になるものもありますが、多くの機種ではこれらの方法ではデータは消えたように見えても実際は消えておりません。
簡単に言ってしまえばデータとして認識されない状態にされているだけです。
スマホに限らずタブレット端末でも同じです。
パソコンのデータも削除しても実際には削除ではなく残っているという事と同じ理屈です。

「それでも、スマホのデータを復元するのは大変なんでしょ?」
とも聞かれたのですが、多くの場合はとても簡単です。

必要なものは、パソコン、スマホをパソコンに接続するためのケーブル、後は無料で配布されているレベルのデータ復元ソフトで簡単に復元可能です。上書きされていないデータであれば完全な状況でデータを復元できます。

「テレビでは動画撮影しておけば大丈夫だという事だったけど」
とのことでしたが、どういう状況かよく分かりませんので補足させて頂きます。

データを手動で削除もしくは工場出荷時の状態に戻すでも構いませんが、とにかくデータが削除された状態にして、その後にメモリを使い果たすまで動画撮影すればデータが保存されていた場所すべてが上書きされるので大丈夫でしょう。
ただ、その動画撮影もレンズ面を伏せた状態や箱の中で撮影するなど真っ暗な動画になるようにした方がいいですし、当然ですが音声も記録されますのでプライバシーに気をつけるよう御注意下さい。

Andoroid端末の場合、工場出荷時の状態に戻す前に一度「端末の暗号化」をしてしまう方法もあります。
暗号化はかなりの時間がかかってしまう可能性がありますが、暗号化した上で工場出荷時の状態に戻すという方法でほぼ復元不可能になります。
使用中のスマホの場合には暗号化してしまうと使い勝手の上では少々不便になったり、動作も重くなりますので御注意下さい。

なお、iPhoneの場合、iOS 3.0以降(だったと思います)であればハードウェアレベルで暗号化されていますので、「すべてのコンテンツと設定を消去」をすれば復元不可能な状態になります。